論理学勉強

論理学（ろんりがく、英: logic）とは、「論理」を成り立たせる論証の構成やその体系を研究する学問である。

様相論理（ようそうろんり、英: modal logic）は、いわゆる古典論理の対象でない、様相（modal）と呼ばれる「〜は必然的に真」や「〜は可能である」といった必然性や可能性などを扱う論理である（様相論理は、部分の真理値からは全体の真理値が決定されない内包論理の一種と見ることができる）。

その歴史は古くアリストテレスまで遡ることができる[1]が、形式的な扱いは数理論理学以降、非古典論理としてである。

様相論理では一般に、標準的な論理体系に「〜は必然的である」ことを意味する必然性演算子□と、「〜は可能である」ことを意味する可能性演算子 ◇ のふたつの演算子が追加される。

様相論理は真理論的（形而上学的、論理的）様相の文脈で語られることが最も多い。この様相においては「〜は必然的である」、「〜は可能である」といった言明が扱われるが、これは認識論的様相と混同されやすい。

例えば「雪男は存在しているはずがない」という主張と、「雪男が存在することは可能である」という主張は、矛盾無く行うことが可能である。この場合、前者は認識論的様相であり、「（これまでの情報からして）雪男が実際に存在するとは考えられない」という主張とみなしうる。一方、後者は真理論的様相であり「（実際には存在しないのだが）雪男が存在することは可能である」という主張であると解釈することができる。

あるいは、「ゴールドバッハ予想は正しいかもしれないし、正しくないかもしれない」という言明も認識論的である。これは現時点の知識では正しいかどうか分からないということであり、仮にゴールドバッハ予想の証明が存在し、その方法に気付いていないだけだとすれば、真理論的には「正しくないかもしれない」という主張は誤りであることになる。

これ以外の様相としては、時間的なものがある。例えば、「明日雨が降るかどうかは決まっていない」のに対し、「昨日雨が降ったかどうかは決まっている」と考えられる。このようなナイーヴな時間観には同意しない哲学者も多いが、その構造は様相論理によって把握することができる。

さらに「〜べきではない」「〜してもよい」といった義務に関わる命題も様相論理によって扱うことができる。直感的にも、「〜べきではない」と「〜してもよい」の関係は「〜は必然的である」と「〜は可能である」の関係と極めて類似している。義務表現を扱う様相論理は義務論理と呼ばれる。

様相論理には様々な公理系が考えられており、どのような公理系が妥当なのかはそれ自体が論争の的である。二つの様相演算子のあいだにド・モルガンの法則的な関係が成立することは、どの公理系でも共通している。□ は必然性演算子、◇ は可能性演算子である。

{\displaystyle \Box p\leftrightarrow \neg \Diamond \neg p} \Box p\leftrightarrow \neg \Diamond \neg p
{\displaystyle \Diamond p\leftrightarrow \neg \Box \neg p} \Diamond p\leftrightarrow \neg \Box \neg p
即ち、「必然的に真」は「偽である可能性がない」と同等であり、「真である可能性がある」は「必然的に偽であるわけではない」と同等である。 様相論理としての最低限の定義◇p=¬□¬pのみを満たす最小の公理系としては、E という公理系が知られている。これは古典命題論理に以下の推論規則を加えたものである。

推論規則 : {\displaystyle \varphi \leftrightarrow \psi } \varphi \leftrightarrow \psi が成り立つならば、 {\displaystyle \Box \varphi \leftrightarrow \Box \psi } \Box \varphi \leftrightarrow \Box \psi も成り立つ。
この公理系 E より「強い」すべての公理系は、Classical な公理系と呼ばれる。


しかしながら、真と認めるべきかどうか直感的に明らかでない論理式も多く作ることができる。例えば「必然的に真ならば必然的に「必然的に真」である」と言えるのかどうか、即ち□p→□□pが成り立つのかどうかははっきりしない。こういった定理を認めるか否かによって様々な公理系が生まれる。

必然化規則を満たす公理系（Normal な公理系）の中で、最も「小さな」公理系として知られているのはクリプキによる K という公理系であり、K の公理系に更に公理を付け加えることにより、様々な様相論理が得られる

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K の公理系は古典命題論理の公理系に公理図式K （太字になっていることに注意） と必然化規則（necessitation）を付け加えたものである。

公理K : {\displaystyle \Box (A\rightarrow B)\rightarrow (\Box A\rightarrow \Box B)} {\displaystyle \Box (A\rightarrow B)\rightarrow (\Box A\rightarrow \Box B)}
必然化規則 : A が K で証明可能ならば、 {\displaystyle \Box A} {\displaystyle \Box A} も成り立つ。
ここで可能性演算子は定義◇p=¬□¬pによって導入される。

T の公理系編集
K の公理系に以下の公理図式T「必然的に真ならば、真である」を加えた体系は T と呼ばれる。

公理T : {\displaystyle \Box A\rightarrow B} {\displaystyle \Box A\rightarrow B}
T においては、K では証明可能でなかったP→◇Pや◇(P→□P)が証明可能となる。

S4,S5 の公理系編集
公理系K,Tにおいては以下の1〜4の同値性を証明できないために多重の様相（◇◇,□□,◇□,□◇,□□□…） を減らすことができない。従って無限に多くの様相が区別されることになる。

{\displaystyle \Diamond P\leftrightarrow \Box \Diamond P} {\displaystyle \Diamond P\leftrightarrow \Box \Diamond P}
{\displaystyle \Box P\leftrightarrow \Diamond \Box P} {\displaystyle \Box P\leftrightarrow \Diamond \Box P}
{\displaystyle \Diamond P\leftrightarrow \Diamond \Diamond P} {\displaystyle \Diamond P\leftrightarrow \Diamond \Diamond P}
{\displaystyle \Box P\leftrightarrow \Box \Box P} {\displaystyle \Box P\leftrightarrow \Box \Box P}
これらは還元法則と呼ばれるが右辺→左辺はTで証明可能なので、 1〜4の左辺→右辺の内、どれを公理系T に付け加えるかでS4,S5の違いが生まれる。

公理4 : {\displaystyle \Box A\rightarrow \Box \Box A} {\displaystyle \Box A\rightarrow \Box \Box A} （還元法則の4に対応）をTに付け加えたのがS4である。
公理5 : {\displaystyle \Diamond A\rightarrow \Box \Diamond A} {\displaystyle \Diamond A\rightarrow \Box \Diamond A} （還元法則の1に対応）をTに付け加えたのがS5である。
実は、還元法則の1を仮定すれば、Tの下で2〜4は証明可能となる。一方3を仮定すれば4がTで証明可能だが、 2は証明可能でない。従ってS5はS4より真に強い（証明力の強い）公理系である。 還元法則の導入により本質的に区別される様相はS4で7種類、S5で3種類と実際に減少する。

クリプキはこの S5 に非常に単純な意味論が当てはまることを示した（下の様相論理の意味論参照）。しかし実際には、議論の目的によって適切な公理系は異なる。例えば、真理論的様相に関しては S5 が最も適当だが、認識論的様相では S4 という公理系が適切であると考えられている。

論理学って案外簡単なのかと思ったら意外と難しいな。

今電車だけど、急に勉学始めて何かきっかけでもあったん？

>>8

何か覚えたら役に立つかなと思いまして！

ふと疑問に思いこのスレ立てました！

しかし思ってたより難しいなあ。。

ログが埋もれていきそうな掲示板で覚えようとしてるの？
メモ帳やノートに書く方が身に付きそうだけどね。それに段取り分けて纏めやすいし

確かにそうですね。これじゃ要領が悪いか

私の場合

塾のようにクソ真面目な場は全然頭に入らんかったが
チャレンジやってた時期はよく覚えてる。

そう言えば前に論理的な内容に入ろうとしてたとこマッチ売り少女（童話）で終わっちまったんだったかな。

また何か話そうかと一瞬考えたけど、私のやり方は「常識的な知識がある勉強よりぶっ飛んだトンデモ発想を転換した遊び」的なもんだからベム氏にはあまり合わないか…。

このスレ見た時少し気になってお尋ねしたけれど、もしお邪魔だったら悪いね。

>>12

合わないと言うより、ついてけないですねｗ
俺もスゴい発想してみたいなぁ。

全然邪魔じゃないんで大丈夫ですよ！！

論理学なんかより法律覚えた方が実用的で有用ですがねえ。解釈なんかも文理解釈、拡張解釈、縮小解釈、反対解釈、類推解釈などがあるし、これを理解するだけでも全然違いますよ。

>>14

法律って覚えるのめちゃ難しそう…ｗ